Giáo sư Việt giải bài toán 55 tuổi

Cố giáo sư Ronald Graham không chỉ là nhà toán học lừng danh mà còn là một nghệ sĩ tung hứng chuyên nghiệp.

Bài toán 55 tuổi

Năm 1971, Ronald Graham đặt ra một bài toán toán thú vị: Cho một tập hợp ngẫu nhiên gồm các số nguyên khác nhau (không chứa số 0). Liệu có luôn tồn tại một cách sắp xếp thứ tự sao cho các "tổng tích lũy" (cộng hai số đầu, rồi ba số đầu, bốn số đầu...) đều tạo ra các giá trị khác nhau?

Trong nghệ thuật tung hứng, điều này tương đương với việc xếp thứ tự tung các quả bóng sao cho không có hai quả bóng nào rơi xuống cùng một thời điểm, gây hỏng màn trình diễn.

Nhà toán học Ronald Graham đồng thời là nghệ sĩ tung hứng. Ảnh: Quanta Magazine.

Nếu bài toán xét trên tập số thực, câu trả lời khá đơn giản vì các tổng sẽ liên tục tăng hoặc biến đổi. Tuy nhiên, Graham lại đặt bài toán vào không gian hữu hạn của phép tính số học đồng hồ, nơi các con số tự lặp lại sau một số nguyên tố p nhất định.

Ông đưa ra giả thuyết rằng câu trả lời là có. Trực giác của Graham dựa trên một ý tưởng quen thuộc trong toán học: Ngay cả khi phải tuân theo những ràng buộc rất chặt chẽ, thường vẫn tồn tại đủ độ linh hoạt để tạo ra một cấu trúc phù hợp. Tuy nhiên, trong nhiều thập kỷ, không ai có thể chứng minh trực giác của Graham là đúng.

Lời giải cho phần còn lại

Vào tháng 2/206, công trình do Lisa Sauermann (Đại học Bonn, Đức) và Phạm Tuấn Huy (Viện Công nghệ California, Mỹ) thực hiện đã chính thức khép lại bài toán do Graham đặt ra.

Nhà toán học Phạm Tuấn Huy. Ảnh: Claymath.

Hai người vốn là bạn cũ, gặp nhau lần đầu tại Đại học Stanford năm 2015, khi Sauermann là nghiên cứu sinh còn Phạm Tuấn Huy là sinh viên đại học. Tháng 9/2025, cả hai gặp lại nhau tại một hội nghị tổ chức ở Đức. Họ nghe hai bài trình bày về bài toán Graham, trong đó các nhà toán học thừa nhận chưa thể lấp khoảng trống ở trường hợp kích thước trung bình.

Hai người quyết định thử sức. Sauermann và Phạm Tuấn Huy tiếp cận phần còn lại của bài toán bằng một phương pháp kỹ thuật gọi là phản tập trung (anti-concentration). Ý tưởng cơ bản là chứng minh một sự kiện "xấu" có xác suất xảy ra đặc biệt thấp.

Hai nhà toán học bắt đầu bằng cách tương tự những người đi trước. Họ sắp xếp ngẫu nhiên tập hợp các số, sau đó xây dựng một quy trình sửa chữa những đoạn có tổng bằng 0. Mỗi khi phát hiện một đoạn như vậy, họ thay số cuối của đoạn bằng một số khác.

Quy trình này thường diễn ra suôn sẻ, nhưng có thể thất bại trong ba tình huống. Một đoạn có tổng bằng 0 có thể xuất hiện quá gần cuối dãy, khi không còn số nào để thay thế; nhiều đoạn xấu có thể xuất hiện quá gần nhau, khiến không thể sửa tất cả; việc sửa một đoạn lại vô tình tạo ra một đoạn có tổng bằng 0 khác.

Sauermann và Phạm Tuấn Huy tìm cách chứng minh rằng cả ba tình huống này đều đủ hiếm để tổng xác suất xảy ra chúng vẫn nhỏ hơn 100%. Để làm được điều đó, họ sử dụng phân tích Fourier, một công cụ toán học cho phép biểu diễn các hàm phức tạp bằng tổng của những dạng sóng đơn giản hơn.

Thông qua công cụ này, họ chứng minh rằng khi cộng các tập hợp số được lựa chọn ngẫu nhiên, không có một giá trị tổng nào có xác suất xuất hiện vượt trội. Sau đó, họ sử dụng hiểu biết này để ước tính cẩn thận xác suất xảy ra của từng sự kiện xấu, cuối cùng chứng minh rằng tổng xác suất gặp phải sự kiện xấu là nhỏ hơn 100%. Điều đó là đủ để giải quyết trọn vẹn giả thuyết.

Tháng 2/2026, Sauermann và Phạm Tuấn Huy công bố bài chứng minh dài 27 trang trên nền tảng arXiv. Không chỉ chứng minh rằng cách sắp xếp phù hợp luôn tồn tại, họ còn chỉ ra rằng từ một thứ tự ngẫu nhiên, quy trình của mình có thể loại bỏ các tình huống xấu với tỷ lệ thành công ít nhất 90% - một tỷ lệ thành công cực kỳ lớn.

Các nhà toán học từng tham gia giải bài toán này trước đó bất ngờ khi thấy phần còn lại được giải quyết nhanh chóng như vậy. "Họ có cách tiếp cận hoàn toàn khác biệt", theo Alp Müyesser, nhà toán học tại Đại học Oxford.

Phạm Tuấn Huy sinh năm 1996, từng là thủ khoa đầu vào lớp chuyên Toán của trường Phổ thông Năng khiếu (Đại học Quốc gia TP.HCM). Anh là chủ nhân 2 huy chương vàng Olympic Toán quốc tế vào 2013 và 2014.

Anh lấy bằng cử nhân Toán học và thạc sĩ Thống kê tại Đại học Stanford; thạc sĩ nghiên cứu cao cấp về Toán tại Đại học Cambridge. Huy tốt nghiệp tiến sĩ toán học tại Đại học Stanford và được nhận học bổng nghiên cứu Clay (Clay Research Fellow) vào năm 2023.

Các nghiên cứu của anh tập trung vào lý thuyết tổ hợp và xác suất, đặc biệt là phân tích các mạng lưới lớn và mạng lưới ngẫu nhiên. Hiện, anh là giáo sư tại Viện Công nghệ California.