Đạo hàm là gì? Các công thức đạo hàm chi tiết

Đạo hàm là gì?

Theo sách Toán 11, tập 2, bộ Kết nối tri thức và cuộc sống, đạo hàm của một hàm số là một trong những khái niệm quan trọng của toán học. Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm hoặc một khoảng.

Công thức đạo hàm của hàm số tại 1 điểm

Đạo hàm của hàm số tại một điểm cho biết mức độ thay đổi của hàm số ngay tại điểm đó.

Đạo hàm của hàm số thường gặp

Đây là những dạng đơn giản nhất của hàm lũy thừa - nền tảng để tính đạo hàm cho nhiều hàm phức tạp hơn sau này.

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương là những quy tắc quan trọng giúp chúng ta tính đạo hàm của những biểu thức phức tạp từ các hàm đơn giản. Thay vì phải chứng minh lại từ định nghĩa giới hạn, ta chỉ cần áp dụng các công thức quy tắc này để rút gọn thao tác.

Cụ thể, đạo hàm của tổng hoặc hiệu bằng tổng hoặc hiệu các đạo hàm; đạo hàm của tích thì theo quy tắc “đạo hàm trước nhân sau, cộng trước nhân đạo hàm sau”; còn đạo hàm của thương thì tuân theo quy tắc “tử đạo hàm nhân mẫu, trừ tử nhân mẫu đạo hàm, chia mẫu bình phương”. Những công thức này sẽ được trình bày rõ ở phần dưới, kèm ví dụ minh họa, để học sinh dễ nhớ và dễ áp dụng vào bài tập.

Đạo hàm của hàm số hợp

Đạo hàm của hàm số hợp được dùng khi hàm số được tạo thành từ nhiều lớp hàm lồng vào nhau. Áp dụng quy tắc dây chuyền, đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm của hàm ngoài, nhân với đạo hàm của hàm trong.

Đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm của các hàm lượng giác giúp ta biết được tốc độ thay đổi của những hàm số như sin(x), cos(x) hay tan(x) khi giá trị của x thay đổi.

Chỉ cần nắm vững đạo hàm của sin(x) và cos(x), ta có thể suy ra đạo hàm của các hàm lượng giác khác, vì chúng đều có thể biểu diễn dựa vào sin và cos (sử dụng quy tắc thương).

Trong phần dưới, chúng ta sẽ chứng minh công thức đạo hàm của sin(x) và cos(x). Từ đó, ta có thể tính đạo hàm cho các hàm lượng giác khác cũng như mở rộng sang các hàm lượng giác ngược và một số công thức đặc biệt khác.

Đạo hàm của hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số mũ cho ta biết tốc độ thay đổi của các hàm số dạng ax (với a>0,a≠1) hoặc đặc biệt là ex. Trong đó, ex được xem là hàm số mũ quan trọng nhất vì đạo hàm của nó bằng chính nó.

Đạo hàm của hàm số logarit

Đạo hàm của hàm số logarit cho biết tốc độ thay đổi của các hàm số dạng loga(x) (với a>0, a≠1), trong đó quan trọng nhất là ln(x) - logarit tự nhiên cơ số e.

Khi biết công thức đạo hàm của ln(x), ta có thể dễ dàng suy ra đạo hàm của loga(x) nhờ công thức đổi cơ số.

Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp 1, tức là ta lấy đạo hàm hai lần liên tiếp của một hàm số. Nếu đạo hàm cấp 1 cho biết tốc độ thay đổi của hàm số, thì đạo hàm cấp 2 cho ta biết tốc độ thay đổi của chính tốc độ đó.

Trong hình học, đạo hàm cấp 2 giúp xác định độ cong/lõm của đồ thị. Trong vật lý, nếu hàm số biểu diễn quãng đường theo thời gian thì đạo hàm cấp 1 là vận tốc, còn đạo hàm cấp 2 chính là gia tốc.

Mẹo nhớ công thức đạo hàm

- Học theo nhóm công thức thay vì rời rạc.

- Lưu bảng công thức để có thể áp dụng ngay khi quên.

- Học đạo hàm qua bài thơ:

Trăm năm trong cõi người ta

Đạo hàm lười học khéo là lơ mơ.

X mà có mũ (en) n

Đạo hàm ta hạ mũ n đầu tiên

Rồi thì số mũ ở trên

Ta trừ đi 1 ra liền đấy thôi.

Đạo hàm căn x bạn ơi

Bằng thương đấy nhé bạn thời chớ quên

Tử là số 1 còn nguyên

Mẫu 2 căn x viết liền cho nhanh.

Đạo hàm của tích hai anh

Ta đạo anh trước, để dành anh sau

Rồi thêm dấu cộng cho mau

Giữ nguyên anh trước, anh sau đạo hàm.

Nếu thương, khó mấy cũng cam

Tử ta đạo hàm nhân mẫu giữ nguyên

Dấu trừ thì chớ có quên

Tử nguyên, mẫu đạo đi liền đằng sau

Bình phương mẫu chạy đi đâu

Ta mang xuống dưới cho mau thuộc bài.

Đạo hàm sin thật là tài

Lại ra là cos có sai bao giờ.

Cos đạo hàm đẹp như mơ

Trừ sin để bạn ngẩn ngơ một mình.

Cần cù bù lại thông minh

Một chia cos bình là đạo hàm tang.

Có chăm học mới vẻ vang

Cô tang dẫu khó cũng mang đạo hàm

Tử trừ 1 nhớ mà làm

Mẫu sin bình nhé chớ ham chơi bời.

E mũ x thật lạ đời

Đạo hàm của nó, ta thời giữ nguyên.

Hàm số mũ ta để yên

Nêpe cơ số chạy liền theo sau.

Nêpe x đạo hàm mau

Bằng 1 chia x chứ đâu khó gì.

Lôga x có khác chi?

Nêpe cơ số ta thì chớ quên.

(Sưu tầm)

Nhật An