Cách cắt bánh pizza giúp lý giải quy luật toán học độc đáo

Thực tế, dãy số này, được ký hiệu là “A000127” trong Bách khoa toàn thư trực tuyến về các dãy số nguyên (OEIS), tiếp tục với các số 31, 57 và 99. Dù bắt đầu một cách đơn giản với quy luật nhân đôi, dãy số lại bất ngờ phá vỡ quy luật rõ ràng đó ở số hạng thứ sáu.

Moser đã dùng ví dụ này để cảnh báo về việc vội vàng rút ra kết luận từ những quy luật tưởng chừng hiển nhiên.

Những chiếc bánh pizza giúp các nhà toán học rút ra kết luận về dãy số Moser.

Vậy nguồn gốc của dãy số này, nay được biết đến với tên gọi bài toán diện tích hình tròn của Moser, là từ đâu?

Hãy tưởng tượng bạn muốn cắt một chiếc pizza hình tròn thành nhiều lát nhỏ và đánh dấu các điểm trên viền bánh. Với hai điểm, có thể cắt đôi bề mặt bánh. Với 3 điểm, có thể thực hiện 3 đường cắt, chia bề mặt thành 4 phần. Với 4 điểm, có 6 đường cắt, tạo thành 8 lát pizza. Quy luật tiếp tục như mong đợi cho đến khi có 6 điểm, lúc này quy luật bị phá vỡ và kết quả là 31 lát. Nhưng tại sao lại như vậy?

Có một công thức cho biết số lát, hay số vùng, được tạo ra với n điểm trên viền. Hãy bắt đầu bằng một mối quan hệ đơn giản hơn: các đường cắt giao nhau khi nối bất kỳ hai trong số n điểm.

Nếu từng học tổ hợp, bạn sẽ biết hệ số nhị thức, ký hiệu là B(n, 2) = n!/(2!(n – 2)!). Điều này có thể kiểm chứng nhanh với ví dụ n = 5 điểm trên viền; khi đó, có B(5, 2) = 10 giao điểm.

Cách tiếp cận tương tự có thể dùng để xác định số lần các đường cắt giao nhau. Nếu pizza có 1, 2 hoặc 3 điểm trên viền, các đường cắt không giao nhau khi cắt chéo bánh. Khi có 4 hoặc nhiều hơn, sẽ có ít nhất một điểm giao nhau. Do đó, với mỗi 4 điểm, có một điểm giao nhau. Số giao điểm này cũng có thể biểu diễn bằng hệ số nhị thức: B(n, 4), với n điểm trên viền. Ví dụ với n = 5 điểm, kết quả là B(5, 4) = 5 giao điểm trên pizza.

Để đơn giản hóa, ta có thể bỏ qua một số trường hợp cắt. Câu hỏi ban đầu của Moser là: Tối đa có thể tạo ra bao nhiêu lát pizza riêng biệt? Để tối đa hóa số lát, ta bỏ qua các trường hợp có nhiều hơn hai đường cắt giao nhau tại một điểm.

Theo công thức này, với bất kỳ đồ thị nào mà các điểm đều được nối, tồn tại mối quan hệ giữa số điểm V, số cạnh E và số mặt F: V – E + F = 1. Áp dụng vào pizza, F sẽ là tổng số lát pizza, nên nếu biết số điểm trên viền và các cạnh của từng lát, ta có thể tính tổng số lát pizza.

Nếu bạn đánh dấu các điểm trên mép bánh pizza (bắt đầu từ một và tối đa sáu điểm trong ví dụ trên) và chia bánh dựa trên các điểm này, bạn sẽ nhận được một, hai, bốn, tám, 16 hoặc 31 lát bánh.

Vấn đề duy nhất là trong ví dụ này, số đường cắt không tương ứng với số cạnh trong công thức vì mỗi đoạn của một đường cắt bị chia bởi các giao điểm cũng được tính là một cạnh riêng biệt của đồ thị.

Để xác định tổng số cạnh, cần nhận ra có ba loại cạnh cơ bản. Loại thứ nhất nối hai điểm trên viền mà không bị cắt bởi đường khác. Với n điểm trên viền, cũng có n cạnh loại này.

Loại thứ hai nối các điểm giao bên trong với các điểm trên viền. Mỗi giao điểm B(n, 2) được giới hạn bởi hai điểm trên viền. Tổng cộng có 2B (n, 2) cạnh xuất phát từ các điểm trên viền. Tuy nhiên, điều này bao gồm cả cạnh loại một, nên cần trừ đi các cạnh nối trực tiếp hai điểm trên viền để tránh đếm hai lần. Như vậy, có 2(B(n, 2) – n) cạnh loại hai, nối các điểm trên viền với các giao điểm bên trong. Ví dụ với n = 5, kết quả là 2(10 – 5) = 10.

Cuối cùng là loại cạnh thứ ba, nối các giao điểm bên trong với nhau. Mỗi giao điểm bên trong có bốn cạnh nối vào, tổng số là B(n, 4). Do đó, mỗi giao điểm bên trong được nối bởi bốn cạnh, tổng cộng 4 × B(n, 4) cạnh. Để tránh đếm trùng các cạnh nối giữa các điểm bên trong và điểm trên viền, cần thực hiện phép trừ và chia: 1/2 × 4 × B(n, 4) – 2 × (B(n, 2) – n) = 2 × B(n, 4) – (B(n, 2) – n). Có thể kiểm tra với n = 5: 2 × 5 – (10 – 5) = 5 cạnh nối các điểm bên trong.

Bây giờ chỉ cần cộng ba loại cạnh lại để có tổng số: n + 2 × (B(n, 2) – n) + 2 × B(n, 4) – (B(n, 2) – n) = 2 × B(n, 4) + B(n, 2). Như vậy, chúng ta gần như đã sẵn sàng để tính số lát pizza.

Chỉ còn một chi tiết nhỏ: vì đã trừu tượng hóa pizza thành một đồ thị để dùng công thức Euler, viền bánh cũng được tính là cạnh. Do đó, thêm n vào tổng đã tính. Như vậy, E trong công thức Euler là: E = 2 × B(n, 4) + B(n, 2) + n.

Ta đã biết V, số giao điểm bên trong và số điểm trên viền, n, nên: V = B(n, 4) + n.

Từ công thức Euler, ta có công thức số lát pizza: F = 1 – V + E = 1 – B(n, 4) – n + 2 × B(n, 4) + B(n, 2) + n = 1 + B(n, 4) + B(n, 2). Vậy nếu bạn có một chiếc pizza trước mặt, đánh dấu n điểm và chia nó bằng B(n, 2) đường cắt, bạn sẽ có 1 + B(n, 4) + B(n, 2) lát pizza. Và thực tế, với n = 1, 2,..., 5, kết quả luôn là lũy thừa của 2n – 1, và bắt đầu lệch khỏi quy luật này từ n = 6.

Giờ bạn đã biết logic của bài toán hình tròn của Moser và biết cách chia một chiếc pizza thành 31 lát, dù không phải lát nào cũng bằng nhau.